CONJUNTOS NUMÉRICOS

INTRODUCCIÓN

ECA te invita a observar un esquema que te servirá conforme avances en tus conocimientos, para tener una visión global de los ámbitos numéricos y entender por qué el hombre ha ordenado los números de esta manera y no de otra.

1. - CONJUNTOS NUMÉRICOS Y OPERATORIA-

1.1  SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA BÁSICA

1.2 CUADRO RESUMEN CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.3  CONJUNTOS NUMÉRICOS

a)     NÚMEROS NATURALES ( N ):

Son  los números desde el 1 al infinito positivo.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,……∞}

b)    NÚMEROS CARDINALES. { N• }: 

Es el conjunto de los naturales al que se le añade el cero.

N • = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,……∞}

Es decir   N • = {0} U  N

Nota: El N es subconjunto de N•

c)     NÚMEROS ENTEROS {Z}:

Son los enteros positivos, los negativos y el cero.

Z = { - ∞ …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …..+ ∞ }

Es decir:

Z = Zˉ U {0} U Z+; en donde:

Z+: es el conjunto de los enteros positivos.

Zˉ: es el conjunto de los enteros negativos.

Observación: nótese que los conjuntos N y N• son subconjunto de Z.

d)    RACIONALES { Q }:

Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción

en donde:

a: Numerador

b: Denominador (b ≠ o )

k: Cuociente

Ejemplo: 

-        6

-        7/9

-        - 5,7

-        -0,789

-        0,888888, etc.

Pertenecen al conjunto de los racionales Q:

-        El cero

-        Los números enteros positivos y negativos.

-        Las fracciones

-        Los decimales finitos

-        Los decimales infinitos: periódicos o semiperiódicos.

Es decir  Z ⊂  Q, o bien Z ∈  Q.

a)     NÚMEROS IRRACIONALES {Q#}:

Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b.

Ejemplo 1: el número √3 es irracional puesto √3 = 1,730508….. Este es un número de infinitas cifras decimales, sin que presente un período o semiperíodo. Por tanto, es imposible expresarlo como una fracción. Es más cómodo expresarlo simplemente como  √3.

Ejemplo 2: el número π es irracional puesto que π  =  3,142857143….. Y no es posible expresarlo como fracción. Por este motivo es más cómodo expresarlo como π.

El número π expresa el número de vec4s que el diámetro de una circunferencia está contenido en su perímetro. Algunos pueblos antiguos usaron el valor 22/7, que da un valor 22/7 = 3,142857143….., alejándose sólo una milésima del valor verdadero.

Algunos pueblos antiguos conocieron los números irracionales. Su concepto de mundo perfecto, en el cual todo encajaba racionalmente, no les permitió su comprensión. Tal fue su confusión que los llamaron “irracionales”.

Ejemplo 3: no son irracionales:

a)     16/25 = 0,8 = 4/5

b)     √0,7225 =0,85 = 17/20

c)     ³√8  = 2

Ejemplo 4: si son irracionales:

a)     √8 = 2,8284271125….

b)    √10 = 3,16227766

c)     ³√ 15 =     2,466212074…

b)    NÚMEROS REALES {R}:

Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con Irracionales.

Es decir: R = Q U  Q#

Pertenecen al conjunto de los Reales R:

-        El cero, los enteros positivos y negativos.

-        Las fracciones

-        Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperíodicos

-        Los irracionales.

c)     NÚMEROS IMAGINARIOS {I}:

Son los números provenientes de las raíces de índice par de números negativos. Los números imaginarios surgen del siguiente problema:

x² + 3 = 0  =>   x² = - 3

Y  es un problema puesto que no hay ningún número real que al cuadrado resulte – 3. Debido a esta situación hubo que inventar un nuevo conjunto numérico: Los imaginarios.

 Entonces: si  x² + 3 = 0 =>  x  = √ - 3

Este número  √ - 3 es la unidad imaginaria y se representa por la letra i.

Ejemplo 1: no es imaginario:

a)     ³√- 8 = - 2, puesto que: ( -2)³ = (-2)(-2)(-2) = -8

Ejemplo 2: es imaginario:

a)     √-1 = i

b)     √-25 = 5 i

c)     √-1,44 = 1,2 i

d)    NÚMEROS COMPLEJOS {C}:

Son números que tienen una parte real y una parte imaginaria. El conjunto de los Números Complejos surge, por lo tanto, de la unión entre los Reales y los imaginarios:

Es decir: C = R U I

    Ejemplo:

a)     El número 50 – 48i es un complejo. Su parte real es 50 y su parte imaginaria es 48i

b)     El número 46,5i es un complejo. Su parte real es 0 y su parte imaginaria es 46,5i.

c)     El número 0,9 es un complejo. Su parte real es 0,9 y su parte imaginaria es 0.

Pertenecen al conjunto de los complejos C:

-        Los Naturales N

-        Los Cardinales N•

-        Los Enteros Z

-        Los Racionales Q

-        Los Irracionales Q#

-        Los Reales R

-        Los Imaginarios I